【小まとめ】等差数列と同心円集合と一次関数

ある意味、自然数(Natural Number)や整数(Integer Number)が何か規定する等差数列（arithmetic progression）あるいは算術数列（arithmetic sequence）の定義(definition)こそが数理計算(mathematical computing)の出発点といえましょう。
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等差数列（arithmetic progression）あるいは算術数列（arithmetic sequence）の定義（definition）は以下。

与えられた区間(interval)において「隣接する項が公差（common difference=共通の差）を持つ数列（sequence of numbers with common difference）」の事で、計算上の初項（Initial term）をa[1] 、公差をdとすれば、n番目の項a[n]はa[n]=a[1]+(n-1)dとなり一般にa[m]=a[m]+(n-m)dと書く。この記述を一般項（general term）という。

この表現を用いると、例えば以下の単調数列(monotonic sequence)は自明の場合(torivial case)としてそれぞれこの様に表現(explession)される。

自然数(Natural)N[n]={1,2,3…,1+(n-1)*1}…区間1~無限大Inf、初項1、公差1、一般項1+(n-1)*1

整数(Integer)Z[n]={0-(n-1)*1,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…1+(n-1)*1}…区間無限小-Inf~0~無限大Inf、初項0、公差±1、一般項0±(n-1)*1

偶数(Even)[n]={-2n,…-6,-4,-2,0,2,4,6,…2n}…区間無限小-Inf~0~無限大Inf、初項0、公差±1、一般項0±(n-1)*2

奇数(Odd)[n]={2n-1,…-5,-3,-1,1,3,5,…2n+1}…区間無限小-Inf~0~無限大Inf、初項0、公差±1、一般項0±(n-1)*1

自然数の様に片側の端点(end point)のみが無限大Infもしくは無限小-Infに開き(open)、もう片側が閉じた(closed)半開区間(semi-open interval)で仕切られた算術数列を片側無限算術数列(one-sided infinite arithmetic sequence)、整数や偶数や奇数の様に無限大Infと無限小-Infに挟まれた開区間(open interval)で仕切られた算術数列を両側無限算術数列(Two-sided infinite arithmetic sequence)と呼ぶ。

その振る舞いは公差dに符号の向き(Sign direction)に依って定まる。

dの符号が正(plus)ならば、その数列の項(term)は増加数列(increasing sequence)を構成し無限大Infに発散(divergence)する。

dの符号が負(minus)ならば、その数列の項(term)は減少数列(decreasing sequence)を構成し無限小-Infに発散(divergence)する。

ちなみに両側とも閉じて有限個の項しか持たない閉区間(closed interval)の算術数列は有限算術数列(Finite arithmetic sequence)と呼ばれ、初等数学でいうところの等差数列は概ねこれを指す。有限算術数列の和は算術級数 (arithmetic series) と言う。

こうした記述は一般には数直線(Number line)に関する話と解釈されます。しかし実際にはそれはトポロジー（topology=位相幾何学）的には「(自然数や配列の様に1で始まるタイプを除くと)初項(Initial term)=0の原点のみで固定された直線(line)」に外ならず、ぐるりと回せば円を描き、かつ目盛りが振られているので同心円集合(Concentric set)を構成するのです。しかもそれは以下の２つのタイプに大別される展開を迎えます。

①0を初項(Initial term)とし、片側の端点(end point)のみが無限大Infもしくは無限小-Infに開かれた片側無限算術数列(one-sided infinite arithmetic sequence)。

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②0を初項(Initial term)とし、無限大Infと無限小-Infに挟まれた開区間(open interval)で仕切られた両側無限算術数列(Two-sided infinite arithmetic sequence)。ただし例えば平面上における実装方法には以下の2種類がある。