【可算直積可能な世界】直交(orthogonal)と線型独立 (linearly independent)

二次元系(Two-dimensional system)ならxとy, 三次元系(Two-dimensional system)ならxとyとzの組み合わせ(set)で空間上の任意の座標を表す座標系(Orthogonal Coordinate System)である。

こうした特徴を有する直交座標系(Orthogonal Coordinate System)への初項(Initial term)0,公差(Common Difference)1の無限等差数列(Infinity Arithmetic Progression){a[-Inf]=初項0+公差1*-Inf,a[-Inf+1]=初項0+公差1*(-Inf+1),…a[-2]=0,a[-1]=-1,a[0]=0,a[1]=1,a[2]=2,…a[Inf-1]=初項0+公差1*(Inf-1),a[Inf]=初項0+公差1*Inf}の写像（英mapping,map、仏application）を考えると以下の２通りとなります。

①一次方程式(Linear equation)y-x=0あるいはy=x。y=0が水平線(Horizontal line)、x=0が鉛直(vertical line)となる。

②一次方程式(Linear equation)x-y=0あるいはx=y。x=0が水平線(Horizontal line)、y=0が鉛直線(vertical line)となる。

鉛直線は、水準器を使って水平面(Horizontal plane)を得ることにより(直角の概念の援用によって)間接的に求めることもできる。

プログラム引用元：

数学における平面上の直線の傾き（slope）あるいは勾配（gradient）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし鉛直線に対する傾きは定義されない。 

• 傾きは普通、直線上の2点間の変化の割合、すなわち x の増加量に対する y の増加量の比率として定義される。
  
  平面上の直線の傾きは、垂直移動距離を水平移動距離で割ったm = Δy/Δxで定義される。ここで、ギリシャ文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。これらの等式から分かるように、鉛直線（y軸に平行な直線）の傾きは零除算となり定義されない。
• 同値な定義として、傾きmは傾斜角をθとしてm=tan(θ)と書くことができる。
• 曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（微分係数 ）が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。

プログラム引用元：

ちなみに直積(Direct Product)の概念自体はもっと幅広い範囲を指します。

• 二次元系(Two-dimensional system)ならxとy, 三次元系(Two-dimensional system)ならxとyとzの組み合わせ(set)で空間上の任意の座標が表せる直交座標系(Orthogonal Coordinate System)が代表例とされる。直積集合の元が順序対なので、同じ元はひとつも含まれない。
  
•  52枚で一組のトランプの標準的なトランプのデッキも、{♠, ♥, ♦, ♣} なる4個の元(Element)を要素とする(群でいうと位数4の)スート(suit)集合と{A,1,2,…,9,10,J,Q,K}なる13個の元を要素とする(群でいうと位数13の)ランク(Rank)集合を直積した結果構成される直積集合の代表例の一つである。この場合も直積集合の元が順序対なので、同じ元はひとつも含まれない。
  
  

それでは、それ以外の直積とは？　以下続報…