【画像Back Up】単位立方体(Unit Cube)と座標系(Coordinate System)における偶奇性(Evenness)について。

様々な試行錯誤の末、以下が判ってきました。

Hatenaブログに投稿したプログラムソースは、しばしば思わぬ干渉を受けてグチャグチャになる。現実は常に正解なり。元々Hatenaブログにはプログラムソースまで読みたい層は少ないので、これはこれで問題なしなのだろう。この問題を解決するにはソースはQiitaに貼る必要がある。
統計言語Rで作成したGIF画像をQiitaに投稿するとループ再生されない。現実は常に正解なり。元々Qiitaには統計言語Rで作成したGIF画像をループ再生する需要が少ないので、これはこれで問題なしなのだろう。この問題を解決するにはGIF画像はHatenaに投稿し、Qiitaにリンクを貼る必要がある。

要するに「上に政策あれば、下に対策あり」です。

そういう訳で以下…

古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。

ユークリッド次元Dに存在する線形サイズ1の図形があり、そのサイズを各空間方向に 1/lに縮めると、もとの図形を埋めるにはN=l^D個の自己相似図形が必要となる。

すなわちD=log(N,base=l)によって定義される次元はまだその位相次元もしくはユークリッド次元と等しい。

こうして「次元数が整数値の」ユークリッド次元概念の定義から出発する「次元数が非整数値の」フラクタル次元の世界はともかく(そちらは怖過ぎるので当面「遊泳禁止区域」に設定する)、ユークリッド空間は座標系(Coodenate System)でもあり、そこで単位図形(Unit Figure)は貼られる数だけ空間を1/N分割するのではなくN倍に広げるし、その際に偶奇性(Eveness)問題を発生させるのです。

それでは、まずこれから使う幾何学構造(Geometric Structure)をあらかじめ定義しておきましょう。

①単位円筒(半径1,高さ2もしくは2π)…とりあえず物理学における等速円運動=単位円筒(Unit Cylinder)概念から出発します。

XY軸（円弧）

ZX軸（Cos波）

ZY軸（Sin波）

X軸やY軸と異なりZ軸は独立しているのでどうとも差し替えが効きます。上掲は等尺(Even Schale)すなわち自然数集合(Natulal Set)Nnないしは加法整数群(Additive Integer Group)Zn=1を添字単位(Index Unit)とし、ピッチ(Pitch)=2πのラジアン尺(Radian Schale)=1を周期単位(Cycle Unit)に設定した場合ですが、あえて周期単位=1(周)と設定して何周も回し「円柱に見えるだけの周回密度を備えた立体表現」を実現したりもするのです。

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自然数集合(Natulal Set)…初項(First Term)α=1,公差(Common Difference)d=1,一般項(General Term)α+(n-1)dの等差数列(Arithmetic sequence=算術数列)Nn(n=1→Inf(inity)){1+(1-1)×1=1,1+(2-1)×1=2,1+(3-1)×1=3,…,1+(Inf(inity)-1)×1=Inf(inity)}={1,2,3,…,Inf(inity)}。単純化して再帰的にNn(n=1→Inf(inity)){1,1+1=2,(1+1)+1=3,…,Inf(inity)+1=Inf(inity)}と考えても良い。どちらの方式も範囲に加法単位元(Additive Identity)0を加えても演算内容(Operation Ex)そのものは維持される。

その添字単位および周期単位は座標系そのもの(Coordinate System Itself)に対して観測原点(Observation Origin)1点で固定されているだけなので、全体として同心円構造(Concentric Set Structure)/同心球面構造(Concentric SphereSetStructure)を形成する。
等尺(Even Schale)=加法整数群(Additive Integer Group)Zn(n=-Inf→-1→0→1→Inf){-Inf,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,Inf}…自然数集合Nnを元(Element)とし加法単位元(Additive Identity)=0と逆元(Inverse Element)=-Nnを射影(Projection)した積(Product)。群(Group)成立の条件を満たす。

つまりこれと…

これを合体させて…

こうする訳です。
ラジアン尺(Radian Schale)=π尺(π Schale)πn(n=-Infπ=-Inf→-1→0→1→Infπ=Inf){-Inf,…,-3π,-2π,-π,0,π,2π,3π,…,Inf}…単位円筒(Unit Cylinder)概念を単位化(Unitization)したものだが、そのままではピッチ=2となる。

②単位球面(半径1)…Z軸にピタゴラスの定理(Pythagorean Theorem)半径(Radius)r^2=x^2+y^2の半径r=1と置き、Z軸を円尺(Circular Scale)sqrt(1-x^2)と置いた結果。

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③トーラス(単数形Torus, 複数形Tori)…とりあえず大半径(Major Radius)1,小半径(Minor Radius)1の場合を単位トーラス(Unit Torus)と呼ぶ。

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とりあえず任意の観測系(Any Observation System)の極限状態、すなわち「究極の観測原点(Ultimate Observation Origin)」Od(d(imension)=0→Inf(inity)){0,0,0,…}と「究極の観測対象そのもの(Ultimate Observation Target Itself)」Td(d=0→Inf){Inf,Inf,Inf,…}のみしか存在しないN次元の原始座標系(Primitive Coordinate System)概念からから出発します。言うなれば完全なる「五里霧中」状態…

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そういえばノルム(距離)空間はその成立条件として「N次元ベクトルXd(d=1→Inf){0,0,0,…,0}⟺X=0」なる条件を掲げている。これは任意の座標系において座標0の集合としての観測原点(Observation Origin)は(その座標系の次元展開に応じた全座標の値が0の)単なる点として扱うという事であり、この観測系もその規約には従う。
さらにこの観測系においては観測結果も全て0である状態を「(点としてのみ存在し線も面も体積も備えない)0次元」と規約する。0次元については様々な定義が試みられているが、この観測系においてはとりあえず「その座標系が観測対象を全く捉えてない状態(あるいは諸般の事情で自らの客観視が不可能な観測者の存在のみが確認されている状態)」などと見做す訳である。

逆をいえば、如何なる形でも(例え観測者の観測ミスや勘違いに過ぎなくても、それを確かめる手段がないので)どれかの観測結果が≠0となった時点で、その観測者は既に0次元自体からは解放されているのです。それがオイラーの公式（Eulerian Formula）Cos(θ)+Sin(θ)iの一般形Cos(θ)+Cos(θ-π/NoS)i(NoS=Number of Sides)においては「Nosが0より大きく2より小さい」区間に該当する状態。正直この方面についてはまだまだ全然考察が足りておらず、そもそもNos=1すなわち一辺形(One Side)がどういう状態なのかすらまともに定義出来てない様な有様なので、現段階においては「語り得ない事については沈黙するほかない」を貫く事にする(要するに来年の課題)。

その意味合いにおいて原始座標系は「まだ使える距離(無限遠点Inf(inity)は使える数字にカウントされない)も角度(円の場合は円周φ、球面の場合は水平角φと垂直角θ)も備えていない極座標系(Polar Coordinates System)」ともイメージ可能な訳である。