【集合の基礎】部分集合(subset)と真部分集合(proper subset)について。

数列には以下の包括関係が存在します。

• 自然数列(Natural sequence)は整数列(Integer sequence)の真部分集合(proper subset)として存在する。
• 偶数列(Even  sequence)や奇数列(Odd  sequence)は自然数列や整数列の真部分集合(proper subset)として存在する。

集合 A の要素がすべて集合 B の要素でもあるとき、すなわち、

• ∀x(x∈A→x∈B)

が成り立つとき、A は B の部分集合であるといい、

• A⊆B

で表す。A が B の部分集合であることを、「A は B に（部分集合として）含まれる（contained; 包含される）」、「A は B に包まれる（included; 包摂あるいは内包される）」などということもある。またこのとき、B は A の上位集合（superset）であるということもある。要するにAは集合Bの要素(element)でもある。

B以外の集合でBの部分集合であるようなものは、Bの真部分集合(proper subset)あるいは狭義（strict; 強い意味で）の部分集合と呼ばれる。すなわち、集合Aが集合Bの真部分集合であるとはA ⊆ BかつA ≠ Bが成り立つことである。AがBの真部分集合であることを

• A⊂B

で表す。

以下続報…